观察：几何学中多项式是什么？多项式是由变量以及标量的代数式吗？

在数学领域里，多项式是由变量以及标量（一般是实数或复数）经乘法及加法构法而成，属于整式的代数式。下列四种都是多项式： 多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项 次数：多项式 x n 中每一项的n为此项的次数 同次项：若有多个多项式，其中每一项的 x k 项称之为同次项 首项：指多项式的项中次数最大者，若多项式首项为n，则称此多项式为n次多项式

(资料图片)

非多项式的例子：

这些式子的变量位在分母，称作分式，并非多项式。

及  也是多项式，但若然及是可置换的变量，即，则这两个多项式是相同的。

单项式是指可以纯粹由乘法构法的多项式，如: 、 及 。单项式其实是不含加法或减法运算的整式.

（注：有说单项式不是多项式，而多项式是由起码两个或以上的单项式相加起来而成。这是最常见单项式及多项式的定义。但多项式相加也可以是单项式，如，这个区分令理论研究变得复杂。若然把单项式也归纳为多项式，则多项式相加的和也是多项式，情况比较简单。）

几何学中，多项式是最简单的平滑曲线。简单是指它仅由乘法及加法构法；平滑皆因它类同口语中的平滑——以数学述语来说，它是无限可微，即可以对它的所有高次微分都存在。事实上，多项式的微分也是多项式。

简单及平滑的特点，使它在数值分析，图论，以及电脑绘图等，都发挥极大的作用。

历史

多项式的研究，源于“代数方程求解”， 是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。

能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震掝数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。

正式定义

给一个环 R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量 x，则多项式是以下代数式：

，

当中 a0, …, an是 R的元素。用 Σ表达法，有

容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环 R[x]，称为 R上的（一元）多项式环。（注：在最一般的定义，a2x、xa2及 axa可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。）

对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。一个有 n个变量的多项式，称为 n元多项式。通常以 R[x,y,z]表示 R为系数环，x，y及 z为变量的多项式环。

在  中， 称为单项式，其中 a∈ R是系数而 为非负整数，是  的次数。 是这个单项式的次数。

多项式的项数

若多项式以最少的单项式之和呈现，则每一个单项式都被称为此多项式的项，而项的数目称为项数。

例如多项式  的项数是四，故称为四项式。当中的 、 、、 、都是此多项式的项。

以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和，如  是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和。

另外的例子是  共有二项，此多项式称二项式。

（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式，则它只是三项式，分别是 、 、及 。 ）

若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中，就不能定义为“多项式”。例如：

，因为出现在分母里，所以不是多项式。，因为出现在根号里，所以不是多项式。，因为出现在绝对值里，所以不是多项式。

变项与常数项

多项式中含有变量的项称为变项，祇有数字的项称为常数项。 例如多项式: 中的  、  、  、 都是此多项式的变项。而是常数项。

（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式，则  才是常数项。 ）

多项式的“元”

多项式中的变量种类称为元，各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z)，一个多项式有n种变量就称为n元多项式。

例如： 中有、 二元，是二元多项式。因有四项，可称二元四项式。

多项式的次数

多项式中次数最高的项的次数,即此多项式的次数。

例如多项式： 中  的次数最高，有三次方，故此多项式的次数为三。 因而此多项式可称为三元三次四项式。称为三次项，及 称为一次项或线性项，而 5 是 0 次项或常数项。

又例如多项式 ， 与  二项都是一次方，而常数项是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三，可称为一次三项式。

常数项是零次方因为可被视为是 。而任何非零数字零次方都是1，故，常数项的次数都为0。

又例如  的首项是五次，次项是四次，所以是个三元五次多项式。（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式，则第一项是三次而系数为 c2，第二项是四次，是个二元四次多项式。 ）

多项式 p的次数，记作 deg(p)，由英语 degree 而来。，所以0这一多项式不计次数，故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项（常数项除外）的系数都是0，而零多项式则指每一项的系数（包括常数项）都是0。1 次多项式又称为 线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。

多项式的升幂及降幂排列

多项式可依各单项式元的次数排列。

次数从低到高是升幂排列。 例如：以下多项式，从排到

次数从高到低是降幂排列。 例如：以下多项式，从排到

若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。

例如:是依X的次数排列。

亦可以y的次数排列。

例如:

一元多项式

一元多项式中次数最高的项，称为首项，其系数称为该多项式的首项系数。如  的首项系数为 3。首项系数为 1 的多项式称为首一多项式，如 。

因式分解

把一多项式分成几个整式的积，称为因式分解。这些整式可称因式。

以下是常用的因式分解公式

多项式的运算

多项式乘法

把两个多项式相乘时，第一个多项式的每一个项都要与第二个多项式的每一个项相乘。例如：

也可以利用矩阵乘法来进行：

多项式除法

主条目： 综合除法

多项式的除法与整数的除法类似。

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

例如，计算。

因此，商是，余式是。 缺项补0

多项式座标图例子

一些低次数的多项式座标图：

2次多项式: f( x) =  x2-  x- 2 = ( x+1)( x-2)3次多项式: f( x) =  x3/5 + 4 x2/5  - 7 x/5 - 2 = 1/5 ( x+5)( x+1)( x-2)

4次多项式: f( x) = 1/14 ( x+4)( x+1)( x-1)( x-3) + 0.55次多项式: f( x) = 1/20 ( x+4)( x+2)( x+1)( x-1)( x-3) + 2

多项式函数及多项式的根

给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，我们把 f中的 xj都换成 aj，得出一个 A中的元素，记作 f(a1...an)。如此，f可看作一个由 An到 A的函数。

若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f的根或零点。

例如 f=x2+1。若然考虑 x是实数、复数、或矩阵，则 f会无根、有两个根、及有无限个根！

例如 f=x-y。若然考虑 x是实数或复数，则 f的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

代数基本定理

代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根。

多项式的几何特性

多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。

泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

任意环上的多项式

多项式可以推广到系数在任意一个环的情形，请参阅条目多项式环。